导读:高一数学总结范文 篇一 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的'x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(... 如果觉得还不错,就继续查看以下内容吧!
此文《高一数学总结范文(优选10篇)》由作文录「Zwlu.Com」小编推荐,供大家学习参考!
高一数学总结范文 篇一
函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的'x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。
C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上。即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来。
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
高一数学总结范文 篇二
I.定义与定义表达式
一般地,自变量_和因变量y之间存在如下关系:y=a_^2+b_+c则称y为_的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点A(_?,0)和B(_?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在_轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与_轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与_轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与_轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与_轴没有交点。
_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c,
当y=0时,二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程),即a_^2+b_+c=0
此时,函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。
高一数学总结范文 篇三
幂函数的性质:
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。
解题方法:换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
高一数学总结范文 篇四
一、复合函数定义:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
二、复合函数定义域问题:
(一)例题剖析:
(1)、已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域
思路:设函数f(x)的定义域为D,即xD,所以f的作用范围为D,又f对g(x)作用,作用范围不变,所以g(x)D,解得xE,E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为(0,1),则函数f(lnx)的定义域为_____________。解析:函数f(u)的定义域为(0,1)即u(0,1),所以f的作用范围为(0,1)又f对lnx作用,作用范围不变,所以0lnx1解得x(1,e),故函数f(lnx)的定义域为(1,e)例2.若函数f(x)1x1,则函数ff(x)的定义域为______________。
1x1解析:先求f的作用范围,由f(x),知x1
即f的作用范围为xR|x1,又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1,即ff(x)中x应满足x1即1,解得x1且x2
1x1x1f(x)1
故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2(2)、已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以xE,E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1,2,则函数f(x)的定义域为_________。解析:f(32x)的定义域为1,2,即x1,2,由此得32x1,5所以f的作用范围为1,5,又f对x作用,作用范围不变,所以x1,5
即函数f(x)的定义域为1,5
2例4.已知f(x4)lg2x2x8,则函数f(x)的定义域为______________。
解析:先求f的作用范围,由f(x4)lg2x22x8,知
x22x80
解得x244,f的作用范围为(4,),又f对x作用,作用范围不变,所以x(4,),即f(x)的定义域为(4,)
(3)、已知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域
思路:设fg(x)的定义域为D,即xD,由此得g(x)E,f的作用范围为E,又f对h(x)作用,作用范围不变,所以h(x)E,解得xF,F为fh(x)的定义域。
例5.若函数f(2x)的定义域为1,1,则f(log2x)的定义域为____________。
1解析:f(2)的定义域为1,1,即x1,1,由此得2,2
2f的作用范围为
1,22又f对log2x作用,所以log2x,2,解得x2即f(log2x)的定义域为
12,4
2,4
评注:函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
(二)同步练习:
21、已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数f(x)的定义域。
答案:[1,1]
2、已知函数f(32x)的定义域为[3,3],求f(x)的定义域。
答案:[3,9]
3、已知函数yf(x2)的定义域为(1,0),求f(|2x1|)的定义域。
(12,0)(1,3)答案:
2
4、设fxlg2xx2,则ff的定义域为
2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4,22,4
x22,2x20得,f(x)的定义域为x|2x2。故解:选C.由,解得2x222.xx2x4,11,4。故ff的定义域为4,11,4
2x5、已知函数f(x)的定义域为x([解析]由已知,有1ax3,13x,),求g(x)f(ax)f(a0)的定义域。22a221x3,2a212x32112aa2x3232aa.,
x(1)当a1时,定义域为{x|(2)当
32a32};a2a,即0a1时,有a2x32a};
12a2a,
定义域为{x|(3)当
32a32a,即a1时,有1x32a}.12aa2a2,
定义域为{x|2a故当a1时,定义域为{x|xx32a32};
当0a1时,定义域为{x|a}.
[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.
证明:在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b
因为ug(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)g(x2),记u1g(x1),
u2g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d)
因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2)),
故函数yf(g(x))在区间(a,b)上是增函数.(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
yf(u)ug(x)yf(g(x))增增增减减增减减减增以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.(3)、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤:确定函数的定义域;
将复合函数分解成两个简单函数:yf(u)与ug(x)。分别确定分解成的两个函数的单调性;
若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数yf(g(x))为减函数。
(4)例题演练例1、求函数ylog212(x2x3)的单调区间,并用单调定义给予证明2解:定义域x2x30x3或x1
单调减区间是(3,)设x1,x2(3,)且x1x2则
y1log2(x12x13)y2log122(x22x23)122(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)
2∵x2x13∴x2x10x2x120∴(x12x13)>(x22x23)又底数0∴y2y10即y2y1∴y在(3,)上是减函数22121
同理可证:y在(,1)上是增函数[例]2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.[解]由3x22x10得函数的定义域为
1{x|x1,或x}.
3则当a1时,若x1,∵u3x22x1为增函数,∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.
若x13,∵u3x22x1为减函数.
∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。
当0a1时,若x1,则f(x)loga(3x22x1)为减函数,若xf(x)loga(3x22x1)为增函数.
13,则
例3、.已知y=loga(2-a)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.解:∵a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2-a>0是减函数
由y=loga(2-a)在[0,1]上x的减函数,知y=logat是增函数,∴a>1
由x[0,1]时,2-a2-a>0,得a<2,∴1<a<2
当0例4、已知函数f(x2)ax2(a3)xa2(a为负整数)的图象经过点
(m2,0),mR,设g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得
F(x)在区间(,f(2)]上是减函数,且在区间(f(2),0)上是减函数?并证明你的结论。
[解析]由已知f(m2)0,得am2(a3)ma20,其中mR,a0.∴0即3a22a90,解得
1273a1273.
∵a为负整数,∴a1.
∴f(x2)x4x3(x2)21,
2242即f(x)x21.g(x)f[f(x)](x1)1x2x,
∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.
假设存在实数p(p0),使得F(x)满足条件,设x1x2,
22)[p(x12x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x12x2∵f(2)3,当x1,x2(,3)时,F(x)为减函数,
220,p(x12x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0,∴x12x2218,∵x13,x23,∴x12x22)2p116p1,∴p(x12x2∴16p10.①
当x1,x2(3,0)时,F(x)增函数,∴F(x1)F(x2)0.
220,∴p(x12x2)2p116p1,∵x12x2∴16p10.由①、②可知p116②
,故存在p116.
(5)同步练习:
1.函数y=logA.(-∞,1)C.(-∞,
3212(x2-3x+2)的单调递减区间是
B.(2,+∞)D.(
32),+∞)
解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)
在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log12(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:B
2找出下列函数的单调区间.
(1)yax(2)y223x2(a1);.
x22x3答案:(1)在(,]上是增函数,在[,)上是减函数。
2233(2)单调增区间是[1,1],减区间是[1,3]。
3、讨论yloga(a1),(a0,且a0)的单调性。
答案:a1,时(0,)为增函数,1a0时,(,0)为增函数。4.求函数y=log13x(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
解:由(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{|=x2-5x+4}=R,所以函数的值域是R.因
++
为函数y=log13(x2-5x+4)是由y=log13(x)与(x)=x2-5x+4复合而成,函
52数y=log13(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x2-5x+4在(-∞,
)
上为减函数,在[
52,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log13(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=log13(x)为减函数、(x)=x2-5x+4也
为减函数的区间,即(-∞,1);y=log1(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=log313(x)为减函数、(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).
变式练习一、选择题
1.函数f(x)=log
A.(1,+∞)C.(-∞,2)
12(x-1)的定义域是
B.(2,+∞)
2]D.(1,解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
x-1>0所以log(x-1)120解得1<x≤2.
答案:D2.函数y=log
12(x2-3x+2)的单调递减区间是
B.(2,+∞)D.(
32A.(-∞,1)C.(-∞,
32),+∞)
解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=log12(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:B
3.若2lg(x-2y)=lgx+lgy,则
A.4
yx的值为B.1或D.
1414
C.1或4
yx错解:由2lg(x-2y)=lgx+lgy,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有
14=或
xy=1.
答案:选B
正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案:D
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log的取值范围为
A.(0,C.(
12122a(x+1)满足f(x)>0,则a
)
B.(0,1)D.(0,+∞)
,+∞)
解析:因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<
2a<l,解得0<a<答案:A
12(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
5.函数y=lg(
21-x-1)的图象关于
1+x1-xA.y轴对称C.原点对称
21-x
B.x轴对称D.直线y=x对称
1+x1-x解析:y=lg(
-1)=lg,所以为奇函数.形如y=lg或y=lg1+x1-x的函数都为奇函数.答案:C二、填空题
已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.解析:a>0且a≠1(x)=2-ax是减函数,要使y=loga(2-ax)是减函数,则a>1,又2-ax>0a<答案:a∈(1,2)
7.函数f(x)的图象与g(x)=(的单调递减区间为______.
解析:因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=log则f(2x-x2)=log132x(0<x<1)a<2,所以a∈(1,2).
13)的图象关于直线y=x对称,则f(2x-x2)
13(2x-x2),令(x)=2x-x2>0,解得0<x<2.
(x)=2x-x2在(0,1)上单调递增,则f[(x)]在(0,1)上单调递减;(x)=2x-x2在(1,2)上单调递减,则f[(x)]在[1,2)上单调递增.所以f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1).答案:(0,1)
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数,且f(则不等式f(log4x)>0的解集是______.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-
1212)=0,
)=f(
12)=0.又f(x)在[0,+∞]
12上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以f(log4x)>0log4x>
9
或log4x<-
12.
12解得x>2或0<x<
.
12答案:x>2或0<x<三、解答题9.求函数y=log13
(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
解:由(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{|=x2-5x+4}=R,所以函数的值域是R
++
.因为函数y=log1(x2-5x+4)是由y=log313(x)与(x)=x2-5x+4复合而成,
52函数y=log13(x)在其定义域上是单调递减的,函数(x)=x2-5x+4在(-∞,
)
上为减函数,在[
52,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=log13(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=log13(x)为减函数、(x)=x2-5x+4也
为减函数的区间,即(-∞,1);y=log1(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=log313(x)为减函数、(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).10.设函数f(x)=
23x+5+lg3-2x3+2x,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f1(x),问函数y=f1(x)的图象与x轴有交点吗?
--
若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.解:(1)由3x+5≠0且<
323-2x3+2x>0,解得x≠-
53且-
32<x<
32.取交集得-
32<x
.
2(2)令(x)=
3-2x3+2x=-1+
3x+56,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
3+2x随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y=lg(x)=
23x+53-2x3+2x是减函数,所以f
+lg3-2x3+2x是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f1(x)与工轴的交点为(x0,0).根据函数与反函数之间定义
-
域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x0),将(0,x0)代入f(x),解得x0=
一.指数函数与对数函数
.同底的指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数;
(二)主要方法:
1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;
2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论;3.比较几个数的大小的常用方法有:①以0和1为桥梁;②利用函数的单调性;③作差.(三)例题分析:
2例1.(1)若aba1,则logbxyz(2)若23525.所以函数y=f1(x)的图象与x轴有交点,交点为(
-
25,0)。
ba,logba,logab从小到大依次为;
z都是正数,,且x,则2x,y,3y,5z从小到大依次为;
(3)设x0,且ab1(a0,b0),则a与b的大小关系是
(A)ba1(B)ab1(C)1ba(D)1ab
2解:(1)由aba1得
baa,故logbbxyz(2)令235t,则t1,xalgtlogba1logab.
lg2,ylgtlg3,zlgtlg5,
∴2x3y2lgtlg23lgtlg3lgt(lg9lg8)lg2lg30,∴2x3y;
同理可得:2x5z0,∴2x5z,∴3y2x5z.(3)取x1,知选(B).例2.已知函数f(x)ax(a1),
x1求证:(1)函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)方程f(x)0没有负数根.
x2证明:(1)设1x1x2,则f(x1)f(x2)aax1x12x11x2ax2x22x21
ax1x1ax12x11x22x21ax23(x1x2)(x11)(x21),
∵1x1x2,∴x110,x210,x1x20,∴
3(x1x2)(x11)(x21)0;
∵1x1x2,且a1,∴ax1ax2,∴aax1x20,
∴f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数f(x)在(1,)上为增函数;(2)假设x0是方程f(x)0的负数根,且x01,则a即ax0x0x02x010,
2x0x013(x01)x013x011,①3x013,∴
3x0112,而由a1知ax0当1x00时,0x011,∴∴①式不成立;
当x01时,x010,∴
3x011,
0,∴
3x0111,而ax00,
∴①式不成立.
综上所述,方程f(x)0没有负数根.
例3.已知函数f(x)loga(ax1)(a0且a1).求证:(1)函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
证明:(1)由a10得:a1,
∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧;
当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(,0),此时函数f(x)的图象在y轴的左侧.
∴函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点,且x1x2,则直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x2,y1y2loga(a1)loga(ax1x1x21)logax2aa11,
当a1时,由(1)知0x1x2,∴1a∴0aax1x2ax2,∴0a1ax11,
111,∴y1y20,又x1x20,∴k0;
x1当0a1时,由(1)知x1x20,∴a∴
ax1x2ax21,∴ax11ax210,
1,∴y1y20,又x1x20,∴k0.1∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
a1
高一数学总结范文 篇五
一:函数模型及其应用
本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点。主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
2、用函数解应用题的基本步骤是:
(1)阅读并且理解题意。(关键是数据、字母的实际意义);
(2)设量建模;
(3)求解函数模型;
(4)简要回答实际问题。
常见考法:
本节知识在段考和高考中考查的形式多样,频率较高,选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题,属于拔高题,难度较大。
误区提醒:
1、求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取值范围。
2、求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型。
高一数学总结范文 篇六
函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的函数C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.高中数学函数区间的概念
(1)函数区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的函数,如果按某一个确定的对应法则f,使对于函数A中的任意一个元素x,在函数B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从函数A到函数B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)函数A中的每一个元素,在函数B中都有象,并且象是的;
(2)函数A中不同的元素,在函数B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。
6.高中数学函数之分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
高一数学总结范文 篇七
本学期我担任高一,两班的数学教学,完成了必修1 、 4的教学。本学期教学主要内容有:集合与函数的概念,基本初等函数,函数的应用,三角函数、平面向量、三角恒等变换等六个章节的内容。现将本学期高中数学必修1 、必修4的教学总结如下:
一、教学方面
1、要认真研究课程标准。在课程改革中,教师是关键,教师对新课程的理解与参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准,对课改有所了解。课程标准明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。继承传统,更新教学观念。高中数学新课标指出:“丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。在高中数学教学中,教师的讲授仍然是重要的教学方式之一,但要注意的是必须关注学生的主体参与,师生互动”。
2、合理使用教科书,提高课堂效益。对教材内容,教学时需要作适当处理,适当补充或降低难度是备课必须处理的。灵活使用教材,才能在教学中少走弯路,提高教学质量。对教材中存在的一些问题,教师应认真理解课标,对课标要求的重点内容要作适量的补充;对教材中不符合学生实际的题目要作适当的调整。此外,还应把握教材的“度”,不要想一步到位,如函数性质的教学,要多次螺旋上升,逐步加深。
3、改进学生的学习方式,注意问题的提出、探究和解决。教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生去发现、探究、归纳、总结。引导他们更加主动、有兴趣的学,培养问题意识。
4、在课后作业,反馈练习中培养学生自学能力。课后作业和反馈练习、测试是检查学生学习效果的重要手段。抓好这一环节的教学,也有利于复习和巩固旧课,还锻炼了学生的自学能力。在学完一课、一单元后,让学生主动归纳总结,要求学生尽量自己独立完成,以便正确反馈教学效果。
5、分层次教学。我所教的两个班,层次差别大9班主要是落后面的学生,初中的基础差,高中的知识对他们来说就更增加了难度,而10班也是两极分化严重,前面约20个学生的基础扎实,成绩在中等以上,而后面的30多个学生的成绩却处于中下以下的水平,因此,不管是备课还是备练习,我都注重分层次教学,注意引导他们从基础做起,同时又不乏让他们可以开拓思维,积极动脑的提高性知识,让人人有的学,让人人学有获。
6、注意培养学生良好的学习习惯和学习方法。学生在从初中到高中的过渡阶段,往往会有些不能适应新的学习环境。例如新的竞争压力,以往的学习方法不能适应高中的学习,不良的学习习惯和学习态度等一些问题困扰和制约着学生的学习。为了解决这些问题,我从下面几方面下功夫:
(1)改变学生学习数学的一些思想观念,树立学好数学的信心。
在开学初,我就给他们指出高中数学学习较初中的要难度大,内容多,知识面广,让他们有一个心理准备。对此,我给他们讲清楚,大家其实处在同一起跑线上,谁先跑,谁跑得有力,谁就会成功。对较差的学生,给予多的关心和指导,并帮助他们树立信心;对骄傲的学生批评教育,让他们不要放松学习。
(2)改变学生不良的学习习惯,建立良好的学习方法和学习态度
开始,有些学生有不好的学习习惯,例如作业字迹潦草,不写解答过程;不喜欢课前预习和课后复习;不会总结消化知识;对学习马虎大意,过分自信等。为了改变学生不良的学习习惯,我要求统一作业格式,表扬优秀作业,指导他们预习和复习,强调总结的重要性,并有一些具体的做法,如写章节小结,做错题档案,总结做题规律等。对做得好的同学全班表扬并推广,不做或做得差的同学要批评。通过努力,大多数同学能很快接受,慢慢的建立起好的学习方法和认真的学习态度。
二存在困惑
1、书本习题都较简单和基础,而我们的教辅题目偏难,加重了学生的学习负担,而且学生完成情况很不好。课时又不足,教学时间紧,没时间讲评这些练习题。
2、在教学中,经常出现一节课的教学任务完不成的现象,更少巩固练习的时间。勉强按规定时间讲完,一些学生听得似懂非懂,造成差生越来越多。而且知识内容需要补充的内容有:乘法公式;因式分解的十字相乘法;一元二次方程及根与系数的关系;根式的运算;解不等式等知识。
3、虽然经常要求学生课后要去完成教辅上的精选的题目,但是,相当部分的同学还是没办法完成。学生的课业负担太重,有的学生则是学习意识淡薄。
三、今后要注意的几点
1、要处理好课时紧张与教学内容多的矛盾,加强对教材的研究;
2、注意对教辅材料题目的精选;
3、要加强对数学后进生的思想教育。
总之,作为一名高中的新教师,对新教材还不太熟悉,对重难点的突破,对考点的把握,对学生的方法指导,对高中教学的经验都是一个很大漏洞,我将把握好每一天,继续努力,争取更好的成绩。
高一数学总结范文 篇八
一、集合有关概念
1、集合的含义
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集:N_或N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1、“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2、“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
4、子集个数:
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
高一数学总结范文 篇九
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
范围:
倾斜角的取值范围是0°≤α0时α∈(0°,90°)
kb>0,a0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值.
高一数学总结范文 篇十
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法:
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:A→B
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
○1 任取x1,x2∈D,且x1
○2 作差f(x1)-f(x2);
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
○2确定f(-x)与f(x)的关系;
○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2 利用图象求函数的最大(小)值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
结尾:非常感谢大家阅读《高一数学总结范文(优选10篇)》,更多精彩内容等着大家,欢迎持续关注作文录「Zwlu.Com」,一起成长!
编辑特别推荐:高一数学总结范文,关于驾驶员工作总结范文,小学心理健康特色活动总结范文,顶岗实习月总结,乡镇综合文化站工作总结, 欢迎阅读,共同成长!